Wahrscheinlichkeitstheorie

Kenntnisse aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik sind für heute Ingenieurtätigkeiten unerlässlich, etwa zur Analyse von Einflüssen bei Messung und Quantisierung, bei der Bestimmung unbekannter Parameter in Messkampagnen, für Aussagen im Rahmen einer Qualitätssicherung von Bauteilen oder Systemen, zur Analyse von Fehlereinflüssen bei der Nachrichtenübertragung oder Beseitigung von Störeinflüssen in der Signalverarbeitung. In der Vorlesung „Wahrscheinlichkeitstheorie“ werden die Studierenden an dieses Wissensgebiet herangeführt und darauf vorbereitet, in praktischen Fragestellungen auftretende zufällige Phänomene zu modellieren, zu analysieren und zu lösen.

Ausgehend von Kombinatorik und relativen Häufigkeiten werden Wahrscheinlichkeitsräume nach Laplace und Kolmogorov behandelt und elementare Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes erarbeitet. Anschließend wird das Themengebiet der bedingten Wahrscheinlichkeiten besprochen, welches Einsichten in interessante und unerwartete Aussagen und Phänomene erlaubt.

Ein zentrales Element der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt der Begriff der Zufallsvariable dar. Diese Zufallsvariablen bilden Wahrscheinlichkeitsräume in geeignete gewählte Bildräume ab und induzieren dort ein Wahrscheinlichkeitsmaß, welches als Verteilung der Zufallsvariablen bezeichnet wird und dessen Beschreibung über die Verteilungsfunktion möglich ist. In diesen Bildbereichen, wie etwa den reellen Zahlen, erfolgt in praktischen Anwendungen die tatsächliche Berechnung gesuchter Wahrscheinlichkeiten.

In den beiden folgenden Kapiteln werden sowohl diskrete als auch stetige Zufallsvariablen betrachtet. Hierbei erfolgt jeweils die Definition der entsprechenden Begriffe, wie z.B.  Wahrscheinlichkeitsmassefunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte, bevor Momente und die charakteristische Funktion als wichtige Kenngrößen von Zufallsvariablen diskutiert werden. Beide Kapitel diskutieren konkrete Beispielverteilungen, die häufig bei der Beschreibung bestimmter Phänomene, wie etwa Störungen oder Quantisierungsfehler, verwendet werden.

Zur Analyse von Abhängigkeiten zwischen zufälligen Einflüssen sind Kenntnisse zu mehrdimensionalen Verteilungen unerlässlich. Die Diskussion von Verbundverteilungen stellt hierzu ein wichtiges Werkzeug dar, aus welchem weiterführende Begriffe wie z.B. Unabhängigkeit und Korrelation wie auch Randverteilungen und bedingte Verteilungen abgeleitet werden können. In der Ingenieurtätigkeit sind komplexwertige Verteilungen ebenso von Belang wie die Analyse von Verteilungen unter Abbildungen, wie etwa der Abbildung kartesischer Koordinaten auf Polarkoordinaten oder einer Amplitude auf eine Momentanleistung.

Das Gesetz der großen Zahlen bzw. der zentrale Grenzwertsatz beschreiben die Approximation von Momenten bzw. von Verteilungen bei großer Anzahl von Beobachtungen. Beide Aussagen sind für den Ingenieuralltag essenziell, da sie beschreiben, wie durch Mittelwertbildung eine verbesserte Schätzung erreicht werden kann, bzw. wie über die Normalapproximation Aufgaben gelöst werden können, deren direkte Berechnung oft nicht durchführbar ist.

Den Abschluss bildet eine Einführung in die Grundzüge der Statistik, in welcher basierend auf einer endlichen Stichprobe Rückschlüsse auf die zugrundliegende Verteilung gezogen werden. Hierzu werden Punktschätzer diskutiert und deren Gütekriterien erarbeitet sowie der ML-Ansatz bzw. der MMSE-Ansatz zur Herleitung von Punktschätzern verwendet. Anschließend erfolgt eine kurze Einführung in das Themengebiet der Bereichsschätzer (Konfidenzintervalle) und der Hypothesentests.